Sous la direction de A. Samarski,

Les polynômes orthogonaux, les fonctions cylindriques et les fonctions hypergéométriques font l’objet d’un grand nombre d’ouvra­ ges fondamentaux. Malheureusement, les auteurs de ces ouvrages se servent d’un appareil mathématique assez encombrant et d’une multitude de méthodes spéciales. Aussi la nécessité se fait-elle sentir, au moment actuel, d’un livre dans lequel la théorie des fonc­tions spéciales serait basée sur une seule idée générale et suffisam­ment simple artifices inventés pour l'etude des fonctions spéciales et se servir d’une quantité de relations beaucoup plus restreinte. Pour la construction de leur théorie les auteurs se servent d’un appareil mathématique minimal: ils n’emploient pas par exemple les transformations intégrales, la théorie analytique des équations différentielles admettant des points singuliers, non plus que les fonctions génératrices et les intégrales de contour de forme compliquée. C’est incontestablement un avantage du livre, car on sait que le volume trop grand des connaissances mathématiques exigées, et notamment en ce qui concerne les fonc­tions spéciales, constitue la pierre d’achoppement pour ceux qui entreprennent l’étude de la physique théorique.

Le livre apprend au lecteur à déduire les formules asymptotiques, à effectuer des développements en séries, à établir des relations de récurrence, à faire des estimations de toute sorte, à obtenir des for­ mules de calcul et à remarquer les liaisons logiques intérieures existant entre des fonctions spéciales n’ayant visiblement rien de commun.

Le texte est parsemé de points de contact avec d’autres branches de mathématiques et de physique: c’est ainsi, par exemple, que la description des fonctions sphériques généralisées débouche sur la théorie des représentations du groupe de rotations et sur la théorie générale du moment des quantités de mouvement. Le lecteur a la possibilité, s’il le désire, d’élargir sans peine ses connaissances en matière des fonctions spéciales en faisant appel aux ouvrages où ces fonctions sont étudiées à Taide des méthodes de la théorie des groupes. La théorie des polynômes orthogonaux classiques d’une variable discrète éveillera Tintérêt de ceux qui étudient la théorie des méthodes de différences. Les spécialistes du calcul approché remarqueront Favantage que présente l’application des formules de quadrature du type de Gauss au calcul des sommes et à la construc­tion des formules d’interpolation. Il est à noter que de nombreuses questions traitées dans ce livre, fort importantes d’ailleurs du point de vue des applications, sont à peine soulevées, et parfois même introuvables dans les manuels existants.

Le livre proposé est le fruit des recherches des auteurs, spécialis­tes de la physique mathématique et de la mécanique quantique, sur des problèmes actuels de la physique du plasma, effectuées à l’Insti­ tut des mathématiques appliquées près l’Académie des Sciences de l’U.R.S.S.

Je suis certain que cet ouvrage sera d’une grande utilité à des lecteurs très nombreux, tant à ceux qui préparent leur diplôme ou thèse qu’à ceux qui se consacrent à la physique mathématique ou théorique.